Polares Blowing-Up

Beim polaren Blowing-Up wird die Transformation in Polarkoordinaten verwendet, daher auch der Name.
  1. Nehmen wir an, wir wollen die Singularität im Ursprung des folgenden dynamischen Systems untersuchen:

    x punkt = x2 - 2xy
    y punkt = y2 - 2xy

  2. Die Transformation in polare Koordinaten liefert das folgende System:

    Radius r, Winkel w

  3. Wir wollen den Kreis mit r = 0 untersuchen und verwenden dazu das vereinfachte (aber topologisch äquivalente) Modell

    r punkt = rR(r, theta ),
    theta punkt = Theta (r, theta )

    Wenn man hier für r = 0 einsetzt bekommt man den Strom auf dem r = 0 Kreis (Abbildung 21). Singularitäten treten bei theta = 0, pi/4, pi/2, pi, (5pi)/4, (3pi)/2 auf, und das Hartman-Theorem (Linearisierung) kann nun Aussagen über den topologischen Typ einer jeden Singularität machen.

  4. Für theta = 0 erhalten wir zum Beispiel

    (r w)<SUP>T</SUP> = J*(r,w)<SUP>T</SUP>

Daraus folgt, daß (r, theta ) = (0,0)
 ein Sattelpunkt mit einer instabilen Mannigfaltigkeit, die tangential zur nach außen zeigenden radialen Richtung ist, und so weiter für die anderen Singularitäten.


Abbildung 21: Der Strom auf und in der Nähe des r = 0 Kreises für (3). Da r punkt und theta punkt das Vorzeichen wechseln für theta -> theta - pi ist es ausreichend, nur die gezeigten Singularitäten zu betrachten

Wenn nun der r = 0 Kreis in den Ursprung zusammengezogen wird so erhält man das lokale Phasenbild, wie es in Abbildung 22 zu sehen ist.


Abbildung 22: Lokales Phasenbild für (1) im Ursprung, welches durch Schrumpfen des r = 0 Kreises auf Null entstanden ist (vergleiche mit Abbildung 13)

[<= Cusp-Bifurkation]        [== Polares Blowing-Up]        [=> Cusp-Singularität]