Interpretation der Eigenwerte diskreter dynamischer Systeme

Wie schon bei der lokalen Analyse von Fixpunkten in einem kontinuierlichen System , ermittelt man nun die Eigenwerte _i mittels der Gleichung

und die dazugehörigen Eigenvektoren e_i mittels Gleichung

von f'(x).

Die Interpretation ist allerdings eine andere, weil hier nicht die Änderung der Variation charakterisiert wird, sondern direkt die nächste Variation in Bezug auf Fixpunkt . Es gibt ebenso wie bei kontinuierlichen Systemen die Fälle

• attracting fix-point

  

• saddle fix-point

  

• repellor fix-point

  

Jedoch gilt jetzt der folgende Zusammenhang zwischen Eigenwerten und Systemverhalten:

• |_i|<1 -> Punkte nahe x werden angezogen
• |_i|>1 -> Punkte nahe x werden abgestoßen
• Im _j,k<>0 -> Rotationale Bewegung

Realen Eigenwerten sind wieder Geraden im linearisierten System zugeordnet, die alle Zustände des Orbits eines beliebigen Zustands auf derselben Gerade enthalten. Je zwei konjugiert komplexe Eigenwerte sind mit einer Ebene im linearisierten System koreliert, die ebenso das Orbit aller Zustände in dieser Ebene enthält. Wie schon bei den kontinuierlichen Systemen kann auch hier die Evolution jedes Zustandes, der nicht Bestandteil so einer Ebene oder Gerade ist, durch die Linearkombination der Evolutionen seiner Komponenten, die Bestandteil dieser invarianten Mannigfaltigkeiten sind, abgeleitet werden:

Wie wir noch später sehen werden ist die Analyse von Fixpunkten in diskreten Systemen auch wichtig für die Analyse von Zyklus-Charakteristiken bei kontinuierlichen Systemen.

Die Folgenden zwei Beispiele stellen typisches Verhalten bei realen Eigenwerten nahe einem Fixpunkt in einem diskreten dynamischen System dar.