Gradient, Divergenz und Rotation

  1. Skalar- und Vektorfelder
  2. Nabla-Operator
  3. Gradient
  4. Divergenz
  5. Rotation

Skalar- und Vektorfelder

Unter einem Feld versteht man i.a. einen Raum, in dem jedem Punkt P(x;y;z) irgendeine physikalische Größe zugeordnet ist.
Handelt es sich dabei um eine ungerichtete Größe (Skalar), dann spricht man von einem Skalarfeld. Z.B.: Temperatur, Dichte, Druck. In diesem Paper wird die Schreibweise f(x,y,z) verwendet. (Theoretisch ist natürlich auch eine andere Anzahl von Variablen möglich.)
Handelt es sich um eine gerichtete Größe (Vektor), dann spricht man von einem Vektorfeld. Z.B.: Strömung, Gravitation, Magnetlinien, elektrisches Feld. In diesem Paper wird die Schreibweise
Bild: Vektorfeld
verwendet. (Eine andere Anzahl von Komponenten bzw. Variablen ist möglich.)

Nabla-Operator

Der Nabla-Operator ist ein formaler Vektor, dessen Komponenten aus den partiellen Differential-Operatoren bestehen.

Definition: Bild: Nabla

(Analog für andere Dimensionen)


Gradient

Sei f(x,y,z) ein Skalarfeld, so ist der Gradient von f ein Vektor, der in die Richtung der größten Änderung von f im Punkt P(x;y;z) zeigt und dessen Betrag gleich dieser größten Änderung ist.

Definition: Bild: Def. des Gradienten

Der Gradient steht somit normal auf die Niveaufläche durch P. Hat man ein Potentialfeld gegeben, so zeigt der Gradient immer in die Richtung, in die sich ein Partikel bewegen würde, wenn man es an der Stelle P in das Feld brächte.


Divergenz

Die Divergenz wird für ein Vektorfeld v berechnet und ist selbst ein Skalar. Sie gibt z.B. für ein Strömungsfeld an, ob aus einem infinitesimalen Volumen, P(x;y;z) mehr Flüssigkeit heraus- als hineinströmt.

Definition: Bild: Def. der Divergenz

Ist die Divergenz positiv, so befindet sich in P eine Quelle, ist sie negativ, so befindet sicht in P eine Senke. Ist die Divergenz 0, dann strömt genauso viel Flüssigkeit in das Volumen hinein wie heraus.


Rotation

Die Rotation wird für ein Vektorfeld v berechnet, und ist selbst ein Vektor.

Definition: Bild: Def. der Rotation

Betrachtet man ein infinitesimales Volumen im Vektorfeld, so gibt der Rotationsvektor an wie stark und um welche Drehachse sich das Volumen dreht. Ist die Rotation 0, dann ist das Vektorfeld wirbelfrei.


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