Normalformen

Wenn F: Rn -> Rn mit F(0) = 0 ein nicht-lineares dynamisches System definiert, so kann man
F(x) = F1 + F2 + ... + Fk + O(|x|k+1)

als formale Taylorentwicklung von x um 0 schreiben. Hierbei ist Fr aus Hr, dem reellen Vektorraum von Vektorfeldern, deren Komponenten homogene Polynome vom Grad r sind.
Ziel der Normalformrechnung ist es, eine Folge von Transformationen zu schaffen, die nacheinander die nicht-linearen Terme Fr beginnend bei r = 2 zu beseitigen. Die Transformationen haben die Form x = y + hr(y), wieder mit hr aus Hr mit r > 2 und r = 2.
Im Idealfall möchte man sämtliche nicht-linearen Terme auf diese Art und Weise beseitigen, das Vektorfeld auf seinen linearen Teil reduzieren, das heißt, x punkt = F(x) in y punkt = A * y in transformieren. Natürlich ist das nicht immer möglich.
Der Vollständigkeit halber sind hier die Normalformen zu den Punkten 1 - 3 der besonderen Fälle im R2 ohne weitere Kommentare wiedergegeben:
  1. Wenn F(x) eine Singularität im Ursprung hat, welche (1) erfüllt, so ist die Normalform von F gegeben durch:

    <I><B>F(x) = F<SUB>1</SUB> + F<SUB>2</SUB> + ... + F<SUB>k</SUB> + O(|x|<SUP>k+1</SUP>)</B></I>

    mit ar, br aus R

  2. Wenn F(x) eine Singularität im Ursprung hat, welche (2) erfüllt, so ist die Normalform von F gegeben durch:

    Definition

    mit ak,bk aus R, ß = SQRT(det J(F(0))) , N > 3 und N = 3 und [(N - 1)/2] bezeichnet die Gauß-Klammer, das ist der ganzzahlige Teil von (N - 1)/2

  3. Wenn F(x) eine Singularität im Ursprung hat, welche (3) erfüllt, so ist die Normalform von F gegeben durch:

    <I><B>F(x) = F<SUB>1</SUB> + F<SUB>2</SUB> + ... + F<SUB>k</SUB> + O(|x|<SUP>k+1</SUP>)</B></I>

    mit ar, br aus R

[<= Inhalt Bifurkationen]        [== Normalformen]        [=> Jets]