Besondere Fälle im R2

Im folgenden sei F: R2 -> R2 mit einem nicht-hyperbolischen singulären Punkt bei x = 0.
Dann unterscheidet man 4 Möglichkeiten (die sogenannten Entartungs-Bedingungen):
  1. J(F(0)) besitzt reelle Eigenwerte und einer davon ist null, oder anders ausgedrückt:

    det J(F(0)) = 0,      Tr J(F(0)) >< 0

  2. J(F(0)) besitzt rein imaginäre Eigenwerte, oder anders ausgedrückt:

    det J(F(0)) > 0,      Tr J(F(0)) = 0

  3. beide Eigenwerte von J(F(0)) sind null, jedoch ist J(F(0)) nicht die Null-Matrix, oder:

    det J(F(0)) = 0,      Tr J(F(0)) = 0,      J(F(0)) >< 0

  4. J(F(0)) ist die Nullmatrix, also

    J(F(0)) = 0

Nicht-hyperbolische Singularitäten werden oft auch als entartete Singularitäten bezeichnet (analog dazu hyperbolische als nicht-entartete). Zu jedem der 4 obengenannten Punkte kann man eine zugehörige Normalform angeben.

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