Die Flip-Bifurkation

Octave-Jump im 2-dimensionalen Raum

Der Name Octave-Jump (=Oktaven-Sprung - eine Oktave ist ein Tonintervall, welches genau einem Ton der doppelten Frequenz entspricht) ist von dem Umstand abgeleitet, daß bei dieser Bifurkation ein periodischer Attraktor durch einen Attraktor mit doppelter Periode ersetzt wird.

Da bei der Flip-Bifurkation ein negativer Characteristic Multiplier (CM) vorausgesetzt wird (siehe dazu auch [AbSh92]), müssen wir unsere Untersuchungen auf einem Möbiusband durchführen. Wir starten mit einem dynamischen System auf dem Band das einen einzelnen periodischen Attraktor besitzt:

Abbildung 16: Möbius Band mit einem einzelnen periodischen Attraktor (dunkel eingezeichnet)

Der CM dieses Attraktors muß negativ sein (da wir uns auf einem Möbiusband befinden) und ist betragsmäßig kleiner als eins (weil es ein Attraktor ist). Wenn man nun die Systemparameter ändert, wandert der CM immer weiter nach links, bis er im Bifurkationspunkt genau den Wert -1 erreicht. Der Zustand des Systems ist immer noch wie in Abbildung 16 dargestellt, jedoch ist der Cycle weder abstoßend noch anziehend.

Dreht man nun weiter am Systemparameter, so wird aus dem Attraktor ein Repellor (der CM ist kleiner als -1) und aus dem ehemaligem Attraktor entspringt ein neuer Attraktor mit doppelter Periode:

Abbildung 17: Der Attraktor aus Abbildung 17 wird zu einem Repellor (weiß), und ein neuer Attraktor mit doppelter Periode (dunkel eingezeichnet) entspringt neben dem Repellor.

Je mehr man nun an dem Systemparameter kurbelt, umso weiter entfernt sich der neue Attraktor vom neuen Repellor:

Abbildung 18: Die Topologie zu Abbildung 17 hat sich nicht weiter geändert, aber der Attraktor weicht immer weiter vom Repellor weg. Man beachte, daß sich die Linien auf dem Möbiusband nicht schneiden (auch wenn es in der Abbildung durch die Projektion so wirkt).