= px - x3
Diese Form der Pitchfork Bifurkation ist eine nicht katastrophische. Bei der Supercritical Pitchfork Bifurkation kommt es bei einer Parameterveränderung von negativen zu positiven Werten für p zu folgender Änderung: ein Attraktor verdoppelt sich und zusätzlich entsteht noch ein Repellor, der die beiden entstandenen Attraktoren trennt. Folgendes System ist wieder ein ganz einfaches Beispiel für ein System mit einer Supercritical Pitchfork Bifurcation:
= px - x3
Die Fixpunkte dieses Systems ergeben sich aus folgender Berechnung (analog zu den früheren Berechnungen):
= 0
=>
1= -
p
2= 0
3=
p
Die Berechnung der Eigenwerte erfolgt ebenfalls wie schon bei den früheren Beispielen erklärt wurde und verläuft folgendermaßen:
Das heißt, daß der Fixpunkt
= 0
anziehend ist für p < 0 und abstoßend ist für
p > 0. Die Fixpunkte
= -
p
und
=
p
sind anziehend für p > 0. Im Punkt p = 0 passiert die
Supercritical Pitchfork Bifurkation. In
Abbildung 9
sieht man dieses Beispielsystem skizziert, man erkennt hier sehr gut,
daß diese Art der Bifurkation nicht katastrophisch ist. Es
verschwindet zwar, wenn man mit p vom Positiven ins Negative wandert,
ein Attraktor, aber nicht sein Einzugsgebiet (basin), dieses wird vom
bestehenden Attraktor ohne große Änderung übernommen (bei
einer kleinen Änderung von p kommt es also auch nur zu einer
kleinen Änderung von x).
In der nächsten, Abbildung 10 ist die Supercritical Pitchfork Bifurkation auf eine völlig andere Art dargestellt. Dabei kann man sich hier den Repellor als Hügel und den Attraktor oder die Attraktoren als Senke bzw. Senken vorstellen und hat somit eine vielleicht anschaulichere Darstellungsart, aus der man das Wesen dieser Bifurkation schneller erkennt.
